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Debe
subrayarse que la cultura científica y matemática bajo dominio musulmán fue
desarrollada por intelectuales provenientes de diferentes pueblos: persas,
judíos, griegos, cristianos, etc., eso sí escrita en árabe
Sus fuentes en cuanto al conocimiento griego fueron manuscritos
propiamente griegos o versiones sirias y hebreas. Obtuvieron las obras
fundamentales de Aristóteles, Apolonio, Arquímedes, Diofanto, Herón y las
tradujeron al árabe. Por ejemplo, los Elementos de Euclides fueron obtenidos
de los bizantinos alrededor del año 800 y la obra astronómica de Ptolomeo, el
Almagesto, a la cual ellos dieron precisamente ese nombre, en el año 827. En
realidad se mencionan dos fuentes:
"Los árabes adquirieron el conocimiento de la ciencia
griega a partir de dos fuentes. La mayor parte de ella la aprendieron de los
griegos del Imperio bizantino, pero también la adquirieron, de segunda mano,
de los cristianos nestorianos de habla siríaca de Persia oriental. Los
cristianos nestorianos, desde su centro de Jundishapur, tradujeron durante
los siglos VI y VII un importante número de obras griegas científicas -sobre
todo de lógica y de medicina- al siríaco, que había reemplazado al griego
como lengua culta del Asia occidental desde el siglo III. Después de la
conquista árabe, Jundishapur continuó siendo durante un tiempo el primer
centro científico y médico del Islam, donde cristianos, judíos y otros
súbditos de los califas trabajaban en la traducción de textos del siríaco al
árabe. Damasco y Bagdad se convirtieron también en centros de este tipo de
trabajo, y ya en el siglo IX se hacían en Bagdad traducciones directas del
griego al árabe. En el siglo X casi todos los textos de la ciencia griega que
luego se conocieron en Occidente estaban traducidos al árabe.'' [Crombie,
A.C.: Historia de la ciencia. De San Agustín a Galileo siglos V-XIII, pp.
44-45]
Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema
numérico hindú y la notación posicional. También usaron los irracionales de
la misma forma que lo hicieron los hindúes. Esto debe enfatizarse: Omar
Khayyam (1048 - 1122) y Nasir-Eddin (1201 - 1274) afirmaron con toda claridad
que las razones de magnitudes, conmensurables o inconmensurables, podían ser
llamadas números. Resulta interesante, sin embargo, que aunque ellos conocían
el uso de los números negativos y sus reglas de operación, introducidas por
los hindúes, aún así los rechazaron. Con esto ya tenemos un primer retrato de
la cultura islámica. Vamos ahora a entrar en mayor detalle en las
matemáticas.
Se mencionan dos tradiciones en la astronomía y las matemáticas
en Bagdad. Una con base en las fuentes persas e indias, que subrayaba una
aproximación algebraica en las matemáticas, y también presente en las tablas
astronómicas, y con una motivación práctica. En esa tradición se coloca
al-Khwarizmi. Otra tradición con énfasis en las matemáticas helenísticas, que
subrayaba la geometría y los métodos deductivos. Su figura emblemática: Tabit
ibn Qurra. Ambas tradiciones se llegarían a fundir, lo que se podrá apreciar
en el trabajo de Omar Khayyam y al-Kashi.
Al-Khwarizmi
Vamos a empezar por Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c.
825). Escribió sobre aritmética, álgebra, astronomía y geografía.
Escribió en el 830 el libro: Hisab Al-jabr w'al-muqabala, que se
traduce como Cálculo por restauración y reducción. También: Algorithmi de
numero indorum (Cálculo con números indios).
Al traducirse al latín en el siglo XII, el primer libro quedó
con el título de Ludus algebrae et almucgrabalaeque. Y aquí se redujo a
álgebra. Este libro integra las tradiciones babilónicas, griegas e indias.
Los trabajos algebraicos de al-Khwarizmi se basaron en los
resultados de Brahmagupta pero reflejan, también, influencias babilonias y
griegas directamente (por ejemplo, de Diofanto).
El segundo libro, Aritmética, sirvió para introducir a los
europeos en el sistema numérico posicional de la India. Incluye un
tratamiento sistemático de las operaciones de la aritmética. Fue el primer
libro traducido del árabe, y hay un detalle interesante: popularizó la
palabra "algoritmo'', que proviene del apellido del autor, para
referirse a procedimientos sistemáticos de cálculo. Y se quedó para la
historia. Se afirma que los números indios llegaron a Bagdad en el 773 por
medio de una misión diplomática hindú.
El documento más antiguo en Europa con la numeración india se
llama Codex Vigilanus y entró por España en el año 976. De hecho, está hoy en
un museo de Madrid.
Al-Khwarizmi construyó tablas astronómicas que tuvieron
influencia por 500 años, con base en las tradiciones babilónicas, indias y
helenísticas.
Su obra Imagen de la Tierra se considera la más importante de la
geografía desde la obra de Ptolomeo.
Al-Khwarizmi señaló 6 tipos de ecuaciones:
con a , b , c números enteros positivos.
Ofreció en todos los tipos de ecuaciones procedimientos para
resolverlas; algunas veces, dio algún fundamento lógico. Por ejemplo, en el
caso del tipo 4, ofreció el método que normalmente se llama "completar
cuadrados''.
A la par de las consideraciones algebraicas, al-Khwarizmi buscó
su fundamento teórico en la geometría. Es decir, construía figuras
geométricas para mostrar la evidencia del aserto algebraico. Eso sí, usaba
ejemplos específicos en su demostración.
Ibn Qurra
Abul Hassan Thabit ibn Qurra Marwan al-Harrani hizo trabajos en
trigonometría esférica, una prueba del teorema de Pitágoras, medidas de
parábolas y paraboloides, y sobre números "amigos''. Se considera el
mejor geómetra del mundo islámico.
La generalización del teorema de Pitágoras es un resultado
interesante que no se descubrió sino hasta el año 1 953 en Turquía.
Los ángulos AB'B y AC'C y BAC son iguales por construcción.
Entonces:
AB² + AC² =BC x(BB' + CC')
Aunque no aparece una prueba por ibn Qurra en el texto que se
preserva, no es difícil demostrar el resultado usando las propiedades de los
triángulos semejantes. ¿Cómo?
Aquí hay un asunto polémico. Se especula que John Wallis pudo
haber estado al tanto de este resultado árabe cuando, en el año 1685, publicó
este mismo teorema como suyo en el libro Treatise on angular Sections.
A diferencia de al-Khwarizmi, volvemos al uso de la geometría en
el álgebra; ibn Qurra hizo una demostración general en la que introdujo dos
teoremas de Euclides.
Esta integración de álgebra y geometría, unificaba las dos
tradiciones del pensamiento matemático, y abrían el camino al álgebra
moderna.
Omar Khayyam
Existe consenso entre los historiadores de las matemáticas en
que la figura en este terreno más importante fue Abdul-Fath Umar ibn Ibrahim
al-Kayyami, Omar Khayyam. Dio reglas para resolver ecuaciones cuadráticas y
un método para la resolución de ecuaciones cúbicas con raíces reales, en la
tradición de al-Kwarizmi. Ofreció algo parecido al triángulo de Pascal para
los coeficientes del binomio. También, intentó una demostración del postulado
de las paralelas de Euclides.
Ahora bien, una de sus más importantes contribuciones en la
geometría fue una extensión de la teoría de las proporciones de Euclides.
Trabajó la dimensión algebraica de esta teoría para extender el concepto de
número de tal manera que pudiera incluir a los números irracionales
positivos.
En lo que se refiere a la resolución de las cúbicas, usó un
método geométrico para resolver ecuaciones de tercer grado con raíces
positivas. Estudió 19 tipos de ecuaciones cúbicas, algunas de las cuales las
pudo reducir a cuadráticas. Las restantes 14 las resolvió por medio de
secciones cónicas. Un ejemplo de esto último:
Consideremos:
x³+ ax² +b²x + c = 0, con a, b y c mayores que 0. Procedamos a
usar la sustitución x²= 2dy.
La ecuación queda:
2dxy + 2ady + b²x + c = 0
Esta es la ecuación de una hipérbola. Como la ecuación con la
que hicimos la sustitución es una parábola, la solución de la cúbica es la
intersección de la hipérbola y la parábola.
Debe entenderse, sin embargo, que todo esto se hacía sin el
arsenal de simbolismo que posee el álgebra moderna.
La utilización de las secciones cónicas y de la geometría para
encontrar soluciones fue el gran aporte de este matemático insigne.
Otros resultados
Al-Kashi en la segunda mitad del siglo
XIV dio una aproximación para ∏ con 16 decimales correctos por medio de
circunscribir en un círculo un polígono con
Las fracciones decimales habían aparecido por primera vez en una
obra de Abul Hassan al-Uqlidisi del año 952 o 953: El libro de los capítulos
sobre la aritmética india. Este conocía el método para multiplicarlas por
enteros. Sin embargo, al-Kashi en el siglo XV dio el tratamiento completo a
las operaciones con decimales.
Trigonometría
La contribución árabe a la trigonometría nos la reseña Bell de
la siguiente forma:
"Los árabes adoptaron y desarrollaron la trigonometría
hindú. El primer progreso notable se debió al astrónomo Al-Battani (muerto en
el 929), en el siglo IX. Si bien en realidad no fue el primero que aplicó el
álgebra en lugar de la sola geometría a la trigonometría, este astrónomo
matemático fue el primero que dio un gran paso en esa dirección. Usó además
del seno hindú, la tangente y la cotangente. En el siglo X se calcularon
tablas de estas dos últimas, y también hicieron su aparición la secante y la
cosecante como razones trigonométricas. Por estar el concepto de función
todavía unos 600 años en el futuro, nada en su obra se parece mucho a la
trigonometría elemental de hoy día.'' [Bell, E.T.: Historia de las
matemáticas, p. 112.]
De hecho, la función seno fue traída de
la matemática india se supone que a través de un texto de astronomía india
Surya Siddhanta. También r sen α y
r-r sen α
fueron incorporadas de los hindúes. Las funciones tangente y
cotangente sí son de origen árabe.
El interés en la trigonometría por parte de los árabes se vio
potenciado cuando entraron en contacto con las tablas de los hindúes. De
hecho, la finalidad básica era mejorar la exactitud de éstas. Un ejemplo
notable es el de al-Kashi que calculó el valor 60 de sen 1º con una exactitud
de 16 decimales, usando un método iterativo que aparece en su libro Risala
al-watar wa'l-jaib (se traduce como Tratado sobre la cuerda y el seno), y que
suponía la resolución de ecuaciones de tercer grado.
Alhambra, Patio de los Leones, Granada, España.
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